Константин Иванович Бесков родился 18 ноября 1920 года в Москве. Заслуженный мастер спорта (присвоено в 1948 году; снято в 1952 году, восстановлено в 1953 году). Заслуженный тренер СССР (1968). Воспитанник клубной команды московского завода имени Н.С.Хрущева - с мая 1934 и юношеской команды Таганского детского парка - 1935-1936.
До московского "Динамо" выступал за команды: завода имени Н.С.Хрущева - 1935-1937 (по июль); "Локомотив" - 1937 (с августа); первая клубная команда СиМ - 1937 (с августа) - 1938 (по июль); команда мастеров "Металлург" (Москва) - 1938 (с августа) - 1940. В чемпионате СССР дебютировал 7 мая 1941 года с "Профсоюзами-1". Москва, стадион "Динамо". 2-1.
Чемпион СССР 1945 и 1949 годов. Обладатель Кубка СССР 1953 года. Второй призер чемпионатов СССР 1946, 1947, 1948 и 1950 годов. Третий призер чепионата 1952 года. Финалист Кубка СССР 1945, 1949 и 1950 годов. Рекордсмен команды по общему количеству голов в кубковых турнирах. Чемпион Москвы 1942 (весна). Обладатель Кубка Москвы 1941 и Суперкубка Москвы 1942 года. В списке "33-х лучших футболистов страны" 2 раза. №1 - 1950, №2 - 1948 (оба раза на месте центрального нападающего).
Играл в первой сборной СССР - 1952, в которой провел 2 матча и 3 неофициальных игры, забил один мяч. Участник футбольного турнира Олимпиады 1952 года.
Выдающийся мастер отчественного футбола. Один из лучших нападающих послевоенной поры, Бесков был игроком исключительного комбинационного дарования. Благодаря отточенной технике, развитому тактическому мышлению, умению сделать точный, скрытый и своевременный по обстановке пас, он организовывал большинство атакующих комбинаций команды. Всегда творчески относясь к игре, за время своей игровой карьеры он действовал на всех позициях в нападении и на каждом месте находил возможности раскрывать по новому, как немногие до него, свои возможности и действия. Мог остро и результативно сыграть в завершении атаки, владел поставленным ударом с обеих ног, мастерски реализовывал стандартные положения. В последние годы в условиях жесткой опеки сникал и действовал порой не столь эффективно, какв лучшие годы своей карьеры.

Тренерскую работу начал в 1954 году. Имеет высшее физкультурное образование. Окончил ГЦОЛИФК в 1952 году и школу тренеров при ГЦОЛИФКе. В 1952-1954 годах учился в аспирантуре ГЦОЛИФК. Тренировал команды: Торпедо (Москва) - 1956; ЦСКА - 1961-1962; Заря (Луганск) - 1965; Локомотив (Москва) - 1966 (по июль); Спартак (Москва) - 1977-1988; Асмарал (Москва) - 1991 (по июнь), 1992. Старший тренер сборной СССР - 1963 (с июля)- 1964 (по июнь), 1974, 1979 (с октября) - 1982 (по июль). Старший тренер олимпийской сборной СССР - 1970, 1975, 1980. Старший тренер сборной Москвы - 1979. Тренер сборной СССР - 1954-1955. Старший тренер ФШМ (Москва) - 1957-1960, старший тренер ДЮСШ Динамо - 1966 (с августа).
В московском "Динамо" работал старшим тренером в 1967-1972, 1994-1995 (по август) годы.